1. Ableitung von Potenzfunktionen

Wir betrachten die Funktion

f(x) = x²

Es handelt sich dabei um die quadratische Funktion. Betrachten Sie nun nur den rechten Teil der dieser Funktion, also denjenigen Abschnitt dieser Funktion mit den positiven x-Werten. Stellen Sie sich vor, Sie müssten diesen Abschnitt von x = 0 beginnend hochlaufen oder besser gesagt hochklettern. Je größer das x wird, desto steiler geht es bergauf. Die Steigung ist nicht mehr konstant. Deshalb ist die Ableitung der quadratischen Funktion eine Gerade mit einer Steigung:

f(x) = 2x

Die Ableitung ist hier als blaue Gerade dargestellt.

Will man die Funktion

f(x) = x³

ableiten. Dann erhält man

f´(x) = 3 x²

Die Ableitung ist in der Grafik blau eingezeichnet. Soweit der Versuch einer bildhaften Erklärung, warum wir die Ableitung von f(x) = xⁿ mit n > 1 keine Geraden mehr erhalten, die parallel zu x-Achse verlaufen.

Wie können wir uns das mit der Ableitung ebenfalls praktisch vorstellen?

Dazu ein Beispiel: Sie fahren mit einem Auto konstant 60 km/h. Da sich die Geschwindigkeit nicht ändert, bewegt sich auch die Tachonadel nicht. Sie zeigt ja immer genau 60 an. Die Geschwindigkeit der Tachonadel ist die Ableitung der Geschwindigkeit des Autos.

 Nun drücken Sie aufs Gas und beschleunigen konstant von 60 auf 100 in 10 Sekunden. Die Tachonadel bewegt sich nun mit konstanter Geschwindigkeit von der Zahl 60 auf die Zahl 100 und braucht dafür 10 Sekunden. Die Geschwindigkeit der Tachonadel zeigt Ihnen also an, wie stark das Auto beschleunigt. Die Geschwindigkeit der Tachonadel entspricht der Beschleunigung. Wenn die Beschleunigung 0 ist, fahren Sie mit konstanter Geschwindkeit und dann ist die Geschwindigkeit der Tachonadel ebenfalls 0.

Nun zurück zu den Ableitungsregeln.

Allgemein kann man schreiben: Wenn

f(x) = xⁿ

dann ist die Ableitung

f´(x) = n x^{(n - 1)}

Diese Regel werden Sie so oft benötigen, dass Sie sie sich merken sollten.

Beispiel:

f (x) = x¹⁰⁰
f´(x) = 100 x^(100-1)
f´(x) = 100 x⁹⁹

Und nun anders geschrieben, damit Sie wissen, wo Sie in Gedanken die Klammern setzen müssen:

f´(x) = 100 * (x⁹⁹)

Weiteres Beispiel, welche die obige Regel anwendet und wir für n = 1 einsetzen.

f (x) = 3 x¹
f´(x) = 3 x^(1-1)
f´(x) = 3 x⁰
f´(x) = 3 * 1 = 3

Es kommt hier übrigens darauf an zu wissen, dass x⁰ = 1.

Damit gehört dieser Fall zu den Fällen, die wir im vorangegangen Kapitel behandelt hatten.

Noch ein Beispiel mit einem Produkt:

f(x) = 11 x⁵
f´(x) = (5 * 11) x⁴
f´(x) = 55 x⁴

Weiteres Beispiel mit einem Bruch:

f(x) = x⁴ / 12
f (x) = (1/12) * x⁴
f´(x) = ( 4 * x³ ) / 12
f´(x) = ( 4 / 12 ) * x³
f´(x) = ( 1 / 3 ) * x³
f´(x) = x³ / 3

Bei dieser Umformung wird gerne dieser Leichtsinnsfehler gemacht.

Wenn das x im Nenner steht: Bis jetzt ist alles klar, wenn das x im Zähler steht und eine oder keine Hochzahl besitzt. Aber was ist, wenn das x im Nenner, also unterhalb es Bruchstrichstrichs steht?

f(x) = 1 / x

Auf jeden Fall müssen Sie die Terme so umformen, dass kein x mehr unter dem Bruchstrich steht! Das erreichen Sie durch eine andere Schreibweise, die Sie einfach kennen müssen:

f(x) = 1 / x = x^-1  Ebenfalls merken!

Nun nur noch konsequent die Regel für die Ableitung von Potenzen verwenden und die Ableitung lautet:

f´(x) = -1 x^-1-1
f´(x) = -1 x^-2
f´(x) = -x^-2

Sie müssen also wissen, dass die Regel für die Ableitung von Potenzen auch für negative Zahlen gilt. n ist hier eine negative Zahl. Die Umformung ist in diesem Fall nur eine andere Schreibweise, die Sie kennen müssen.

Noch eine Übung:

f(x) = 2 / (3 x⁴)

Probieren Sie es mal selbst. Der Lösungsweg und die Lösung stehen hier .

Zusammenfassung: Wenn wir also das x im Nenner sehen, dann geht bei Ihnen eine Lampe auf die sagt: "Ich muss das x unterhalb des Bruchstrichs entfernen".

Um das machen zu können, müssen Sie nur wissen, dass  f(x) = 1 / x = x^-1 ist. Es ist im Grunde nur eine andere Schreibweise.