Produktregel

Inzwischen haben Sie sicherlich ganz nebenbei erfahren, wie Sie allgemein ausgedrückt die Funktion

f(x) = c * b(x)

ableiten, wobei c eine Konstante darstellt. Hier ein Beispiel:

f(x) = 5 * x²

f´(x) = 5 * 2x = 10 x

Die Konstante ist hier c und wird durch die Ableitung nicht verändert. Der Term x² wird wie gewohnt nach der Potenzregel abgeleitet.

Produktregel: Anders sieht es aber aus, wenn Sie zwei Funktionen ableiten müssen, die miteinander multipliziert sind:

f(x) = a(x) * b(x)

Beispiel:

f(x) = 3x * x²

Bei der Summenregel für die Addition von Funktionen ( f(x) = a(x) + b(x) + c(x) + c ) konnten Sie die einzelnen Funktionen getrennt ableiten und dann die abgeleiten Funktionen wieder addieren.

Ganz so einfach geht das beim Ableiten miteinander multiplizierter Funktionen leider doch nicht. Die Regel für die Multiplikation ist trotzdem einfach:

f(x) = a(x) * b(x)

f´(x) = a´(x) * b(x) + a(x) * b´(x)

Achten Sie darauf, wo die kleinen, unscheinbaren Häkchen für die Ableitung sitzen.

Beispiel:

f(x) = 3x * x²

f´(x) = 3 * x² + 3x * 2x

Wenn Sie wollen, können Sie den Ausdruck noch vereinfachen:

f´(x) = 3x² + 6x² = 9x²

Ausmultiplizeren: Die Produktregel können Sie sehr oft umgehen, wenn Sie ausmultiplizeren. Ein Beispiel:

f(x) = (2x-4) * (3x+3)

ergibt ausmultipliziert

f(x) = 6x² - 6x - 12

Sie können dann nach der Summenregel ableiten (differenzieren):

f´(x) = 6 * 2x - 6 - 0 = 12x - 6

 Ausführlicher Lösungsweg

 Video über das Ausmultiplizieren

Produktregeln für mehr als zwei Produkte:

Beispiel für 3 Produkte:

f(x) = a(x) b(x) c(x)

f´(x) = a´(x) b(x) c(x)
        + a(x) b´(x) c(x)
        + a(x) b(x) c´(x)

Beispiel für 4 Produkte:

f(x) = a(x) b(x) c(x) d(x)

f´(x) = a´(x) b(x) c(x) d(x)
        + a(x) b´(x) c(x) d(x)
        + a(x) b(x) c´(x) d(x)
        + a(x) b(x) c(x) d´(x)

Für mehr als 4 Produkte kann die Regel entsprechend erweitert werden. Mit zunehmender Anzahl der Produkte wird die Rechnerei sehr unhandlich. Hier wäre der Einsatz eines Computerprogramms dann sehr hilfreich.